On sequences (γk) and (βk) in regular graphs

For an integer k ≥ 1 and a graph G = (V,E), a set S of V is k-independent if ∆(S) < k and k-dominating if every vertex in V \S has at least k neighbors in S. The k-independence number βk(G) is the maximum cardinality of a k-independent set and the k-dominating number is the minimum cardinality of a k-dominating set of G. Since every kindependent set is (k + 1)-independent and every (k + 1)-dominating set is k-dominating, the sequences (βk) and (γk) are weakly increasing. In this paper we investigate the following questions for some special regular graphs: Which regular graphs have the two sequences (βk) and (γk) strictly increasing? RÉSUMÉ. Pour un entier k ≥ 1 et un graphe G = (V,E), un ensemble S de V est kindépendant si ∆(S) < k et k-dominant si tout sommet de V \S a au moins k voisins dans S. Le nombre de k-indépendance βk(G) est la cardinalité maximum d’un ensemble k-indépendant et le nombre de k-domination est la cardinalité minimum d’un ensemble k-dominant deG.Comme tout ensemble k-indépendant est (k + 1)-indépendant et tout ensemble (k + 1)-dominant est k-dominant, les séquences (βk) et (γk) sont faiblement croissantes. Dans cet article nous étudions pour certaines classes de graphes réguliers la question suivante : Quels sont les graphes réguliers ayant les deux séquences (βk) et (γk) strictement croissantes?